Pi: de gulden snede, de goddelijke verhouding

· maart 5, 2017

Ik ga proberen om dit onderwerp te bespreken met de woordenschat en het begrip dat ik op dit moment bezit, hoewel ik me er volledig van bewust ben dat dit niet genoeg zal zijn om de complexiteit ervan te dekken. Ik zal met voorzichtige kleine stapjes vooruitgaan, alsof ik geblinddoekt ben, omdat ik dit werkelijk ben.

Gezegd wordt dat het Euclides was die in het jaar 250 voor Christus de eerst bekende definitie van het getal pi gegeven heeft. Hoewel het toen nog anders genoemd werd, of misschien had het nog helemaal geen naam. Dit is de ‘gulden snede’ of ‘goddelijke verhouding’. Tegenwoordig wordt het aangeduid met de Griekse kleine letter pi (φ), wat een verwijzing is naar Phidias, een Griekse beeldhouwer wiens kunstwerken van zoveel schoonheid en evenredigheid getuigden dat ze pasten in de goddelijke verhouding die wij hier bespreken. Maar laat ons nog dieper op deze materie ingaan.

‘Pi’ is een wiskundig irrationaal getal (een oneindige niet-periodieke decimaal) met vele zeer interessante eigenschappen. Het is niet een eenheid die later wordt toegepast als een index van iets. In plaats daarvan is het een verhouding of hoeveelheid die voorkomt in een verrassende frequentie. Deze verhouding kan worden gevonden in sommige geometrische figuren en in de natuur. Dit is waarom het getal zo intrigerend en verblindend is voor de leek.

In de natuur is het getal pi gekoppeld aan de man-vrouwverhouding bij bijen in een bijenkorf, de verhouding van de nerven in elk blad aan een boom, de opstelling van de bloemblaadjes van bloemen, het aantal zaden in een zonnebloem, de afstand tussen de spiralen op een ananas, de verdeling van de takken en bladeren aan een boomstam om optimaal zonlicht te kunnen ontvangen, de innerlijke spiraal van slakkenhuisjes en de huisjes van sommige koppotigen.

Maar er bestaan ook vele voorbeelden van deze raadselachtige verhouding in het menselijk lichaam. De lengte van iemand in verhouding tot de hoogte van zijn navel bijvoorbeeld, de verhouding tussen de externe diameter van het oog en de pupilafstand, tussen de diameter van de mond en de neus, tussen de hoogte van de heup en de knie, tussen de hoogte van de schouder en de vingers en tussen de hoogte van de elleboog en de vingers, tussen de diameter van de luchtpijp en die van de luchtwegen, en vele andere verhoudingen.

Gezegd wordt dat hoe beter een lichaam aan deze verhouding voldoet, hoe mooier we het zullen vinden. De verhouding kan dan ook niet voor niets worden gevonden in de buste van Nefertiti. Het was Leonardo de Pisa, beter bekend als Fibonacci, een Italiaanse wiskundige uit het jaar 1200, die een intieme relatie had met de Arabische cultuur van Algerije en die, tijdens zijn presentatie van een onderzoek over de geboorte van konijnen, een rij naar voren bracht (de rij van Fibonacci) die interessante verbanden bleek te bezitten met de ‘gulden snede’.

Het is in de kunst waar het getal pi een bijzondere nuance verwerft, bijna als een intens mystiek substraat. In opdracht van Pericles bouwde Phidias op de Akropolis van Athene een tempel ter ere van de godin Athena. Het Parthenon is altijd al een voorbeeld geweest van evenwicht, perfectie en schoonheid. In de constructie ervan maakte Phidias gebruik van zijn inherente kennis van de ‘gulden snede’, zowel bij het bepalen van de afmetingen van het hele gebouw als bij het plaatsen van het beeldhouwwerk.

Sindsdien is het een paradigma geweest. In 1525, drie jaar voor zijn dood, gaf Dürer, een bekend kunstschilder uit de Noordelijke renaissance en gepassioneerd liefhebber van de wiskunde, de wereld een kostbaar kunstwerk. We hebben het over het boek De spiraal van Dürer, dat gebaseerd is op de ‘goddelijke verhouding’. Ook zijn geweldige grafische kunstwerk ‘Melancholie’ bevat meerdere wiskundige metaforen. Als we de specifieke kenmerken van dit werk bestuderen, dan zien we zelfs dat het er een duidelijke bevestiging van is. De ongewone eigenschappen van het werk zijn de voornaamste reden dat de ‘gulden snede’ met de jaren geaccepteerd werd als goddelijk in haar samenstelling en oneindig in haar betekenis.

De Egyptenaren gebruikten de verhouding in de grafkamer in de Piramide van Cheops.

De oude Grieken geloofden dat een begrip van deze verhouding mensen kon helpen om dichter bij de Schepper te komen. God was aanwezig in dit ‘goddelijke getal’. De verhouding was als de gesluierde formule die God gebruikte om harmonie, perfectie en schoonheid te creëren.

De obsessie met het verbeelden van de ideale verhoudingen is iets waar kunstenaars zich voortdurend door hebben laten leiden, vanaf de Oudheid tot op de dag van vandaag. Tijdens de Renaissance streefde men er over het algemeen naar om deze ideale verhoudingen op gebalanceerde wijze uit te drukken door middel van de geometrie. En aangezien de goddelijke verhouding exact gebaseerd is op de wiskundige reeksen zoals we die kunnen vinden in de natuur, is de inspiratie voor dit streven bewonderenswaardig te noemen.

Een uitstekend voorbeeld hiervan is het ‘Portret van Giovanna Tornabuoni’, dat de ontwikkelingen van de doorsneden die in die tijd gebruikt werden met wiskundige precisie reproduceert. Ook de rest van de elementen in deze compositie zijn geordend met absolute geometrische precisie. Ghirlandaio, de maker van het portret, verdeelt de ruimtes in zijn schilderij aan de hand van deze geometrische vormen, zich houdend aan de relatie tussen harmonie en mathematische verhouding. Zo lopen er twee denkbeeldige diagonale lijnen over het schilderij die het beeld centreren en elkaar precies zo kruisen dat ze de positie van de buste van Giovanna kaderen. Andere lijnen situeren de kerker op de achtergrond. Hieruit ontstaan de drie zijden van een gelijkzijdige driehoek waarin de maker het hoofd plaatst. En op de linkerhelling van deze driehoek bevinden zich in één lijn de neus en het oog. De mathematica doordrenkt dit schilderij door middel van perfectie, precisie, harmonie, evenwicht en poëzie. Verrassend, of niet?

‘De gouden verhouding.’ Euclides, Plato, Pericles, Vitruvius, Rafaël, Michelangelo, Botticelli, Lucca Pacioli, Leonardo, Johannes Vermeer, Mozart, Corbusier, Velasquez, Debussy, Dali en talloze andere kunstenaars maakten er gebruik van. Rafael Alberti wijdde er een gedicht aan. Het werd gebruikt in de middeleeuwse kathedralen en de wenteltrap van het Vaticaan. Maar het wordt ook gebruikt voor alledaagsere dingen zoals de juiste afmetingen voor foto’s, televisieschermen, ansichtkaarten, credit cards. En het kan zelfs worden gevonden in de structuur van onze kosmos en in de dynamiek van de gevreesde ‘zwarte gaten.’