Wat weet jij over het theorema van Bayes?

Kansberekening beheerst ons leven - we maken er iedere dag gebruik van zonder ons ervan bewust te zijn. In dit artikel bespreken we een van de belangrijkste stellingen met betrekking tot kansberekening: het theorema van Bayes.

Beoordeeld en goedgekeurd door de psycholoog Sergio De Dios González.

Geschreven door Paula Villasante

Laatste update: 27 december, 2022

Het theorema van Bayes is een van de belangrijkste stellingen op het gebied van kansberekening. Het was Thomas Bayes (1702 – 1761), die deze theorie in de 18e eeuw voorstelde. Wat probeerde deze wetenschapper echter precies uit te leggen?

Volgens het Meriam-Webster woordenboek is kans “de verhouding tussen het aantal uitkomsten in een uitputtende reeks van even waarschijnlijke uitkomsten die een bepaalde gebeurtenis produceren tot het totale aantal mogelijke uitkomsten.”

Veel kanstheorieën bepalen de wereld. Wanneer je naar de dokter gaat, zal hij je bijvoorbeeld het middel voorschrijven waarbij de kans op genezing het grootst is.

Daarnaast richten adverteerders hun campagnes op de mensen die eerder geneigd zijn het product te kopen dat ze promoten. Bovendien kies je de route die je neemt vaak op basis van welke route waarschijnlijk het snelst zal zijn.

De wet van de totale kans

Een van de bekendste wetten in de kansrekening is, de wet van de totale kans. Voordat we verdergaan is het belangrijk om te kijken wat de wet van de totale kans precies inhoudt. Om deze wet iets makkelijker te begrijpen, geven we je even een voorbeeld.

Laten we zeggen dat in een willekeurig land 39% van de bevolking vrouw is. We weten ook dat 22% van de vrouwen en 14% van de mannen geen baan hebben. Dus, wat is de kans K dat een willekeurig gekozen persoon uit de actieve bevolking in dit land werkloos is K (W)?

Volgens de kanstheorie, is dit de manier waarop we de kans zouden uitdrukken:

• De kans dat de persoon een vrouw was: K (V)
• De kans dat de persoon een man was: K (M)

Omdat we weten dat 39% van de bevolking vrouw is, kunnen we daaruit afleiden dat K (V) = 0,39

We kunnen dus concluderen dat K (M) = 1 – 0,39 = 0,61

Ook geeft dit probleem ons de volgende voorwaardelijke kansen:

• De kans dat een vrouw werkloos is: K (W | V) = 0.22
• De kans dat een man werkloos is: K (W | M) = 0,14

Daarom krijgen we door de wet van de totale kans te gebruiken:

K (W) = K (V) K (W | V) + K (M) K (W | M)

K (W) = 0,22 x 0,39 + 0,14 x 0,61

K (W) = 0,17

De kans dat een willekeurig gekozen persoon geen baan heeft K (W), zal dus 0,17 zijn. Zoals je kunt zien, ligt het resultaat tussen de twee voorwaardelijke kansen (0,14 <0,17 <0,22).

Het theorema van Bayes

Stel nu dat je een willekeurige volwassene hebt gekozen om een ​​formulier in te vullen en je je realiseert dat deze persoon geen baan heeft. Wat is, met oog op het vorige voorbeeld, in dit geval de kans dat deze persoon die je willekeurig hebt gekozen een vrouw is [K (V | W)]?

Om dit probleem op te lossen, moet je het theorema van Bayes toepassen. Concreet genomen gebruik je dit theorema om de kans van een gebeurtenis te berekenen. Waarbij je tevens ook rekening houdt met de eerdere informatie die je over deze gebeurtenis hebt.

Je kunt de waarschijnlijkheid van een gebeurtenis A berekenen, ook wetende dat deze gebeurtenis A bepaalde kenmerken (B) vervult die de kans ervan beïnvloeden.

In dit geval hebben we het over de kans dat de persoon die je willekeurig hebt gekozen om een ​​formulier in te vullen een vrouw is. Daarnaast zal de kans echter niet onafhankelijk zijn van het feit of de persoon een baan heeft of niet.

De formule van het theorema van Bayes

Net als bij elke andere stelling, hebben we ook voor het theorema van Bayes een formule nodig om de kans te berekenen:

Hoewel het misschien ingewikkeld lijkt, heeft alles een uitleg:

• Om te beginnen is B de gebeurtenis waarover we vooraf informatie hebben.
• De term A (n) verwijst naar de verschillende voorwaardelijke gebeurtenissen.
• We hebben een voorwaardelijke kans in de teller. Dit verwijst naar de kans dat iets (een gebeurtenis A) zal plaatsvinden, wetende dat er ook een andere gebeurtenis (B) plaatsvindt. We definiëren dit als K (A | B) en drukken het uit als ‘de kans van A met oog op B’.
• In de noemer hebben we het equivalent van K (B).

Een voorbeeld

Laten we even terugkomen op het vorige voorbeeld. Stel dat je een willekeurige volwassene hebt gekozen om een ​​vragenlijst in te vullen en je je realiseerde dat deze persoon werkloos was. Wat is de kans dat deze persoon een vrouw is [K (V | W)]?

Welnu, rekening houdend met het vorige voorbeeld weten we dat 39% van de actieve bevolking vrouw is. We weten dan dat de rest mannen zijn. Bovendien weten we dat het percentage werkloze vrouwen 22% is en dat het percentage werkloze mannen 14% is.

Tot slot weten we ook dat de kans om een ​​willekeurige, werkloze persoon te kiezen 0,17 is. Als we dan dus het theorema van Bayes toepassen, is het resultaat dat we krijgen een kans van 0,5 dat een willekeurig gekozen persoon, van alle mensen die werkloos zijn, een vrouw zal zijn.

K (V | W) = (K (V) * K (W | V) / K (W)) = (0.22 * 0.39) / 0.17 = 0.5

We willen dit artikel graag afsluiten door te verwijzen naar een van de meest voorkomende verwarringen over kansrekening. Het kan alleen variëren tussen 0 en 1. Als de kans op een gebeurtenis 0 is, is het onmogelijk dat de gebeurtenis plaats zal vinden. Als de kans daarentegen 1 is, dan zal het zeker gebeuren.